(no subject)

Сто лет назад я интересовался у нашего доцента по математике в 64ой (С. Клокова) об одной штучке: Вот можно ввести первую производную, вторую производную, n-ную производную. Можно сказать, что нулевая производная - сама функция, а отрицательные порядки соответствуют интегралам. (Ограничим многозначность условием F(0) = 0 или ещё каким-нить извратом). А можно ли, спросил я, как-нибудь осмысленно расширить это понятие на рациональные числа? Сергей Александрович сказал, что математикам присуще пытаться абсолютно всё обобщать до абсурда и они уже пробовали - работает. Только, он не знает, нафиг это нужно. И отослал меня домой думать, как можно соорудить для любой достчтоно произвольной формулу, где с одной стороны будет стоять её n-ная производная, а с другой m-кратный (лучше всего, однократный) интеграл -- тогда можно будет с попробовать соорудить обобщение и посмотреть, какими свойствами оно будет обладать. Т.е. будет ли сие обобщение осмысленно.

Признаюсь, тогда я этой формулы не нашел. А сегодня нашел:
http://mathworld.wolfram.com/FractionalIntegral.html

Математическое

Продолжая предыдущий пост.
Но человеческое любопытство безгранично. Следующим вопросом, который я задал Клокову был следующий: Вот функцию, обратную данной часто обозначают f^-1(x). Это же наверняка не зря! Пусть f -- непрерывная монотонно возрастающая функция с совпадающей областью определения и обастью значений. Тогда у неё есть обратная, и тогда её можно соединять саму с собой. Пусть тогда f°(x) = x, f¹(x) = f(x), f²(x) = f(f(x)), fⁿ(x) = f(f^n-1(x)). Для отрицательных -- соответственно. Тогда выполняется соотношение f^a∘f^b = f^a+b. Будем из него исходить. Вопрос: можно ли как-нибудь осмысленно продолжить понятие композиционной степени для рациональных и далее по непрерывности для действительных чисел.

Для примера мы взяли функцию f(x) = x². Тогда можно подобрать к ней f^1/2(x) = x^√2. Функция
f^1/3(x) = x^21/3. Несложно проверить и доказать, что для f(x) = x^a:
f^u(x) = x^au

(Обращаю внимание, что единственность рациональных степеней композиции ещё нигде не утверждалась)

( дальше )

Диаметральная противоположность мнений.

dmitri83 пишет:
«Просто так играть вредно. Если просто так играть получаются статьи "Об одном свойстве одного дифференциального уравнения".

> Леонард Эйлер, например, по началу выдумал гамма-функцию просто из желания как-то продолжить факториал.
Он гений и у него мотивация была на подсознательном уровне.»


А я вот придерживаюсь диаметрально противоположного мнения. Я считаю, что просто так играть -- единственный способ вообще что-то стоящее накопать и единственный же способ решить задачу, к которой не имеешь прямого подхода. Да и единственный нормальный способ понять чего-то. Вот я пару постингов назад писал про соответствие норм и выпуклых ограниченных объёмных нуль-симметричных областей. Как ты думаешь, как я до этого догадался?
Фига с два я бы до этого догадался, если бы во время лекции, где нормы обсуждались не начал с ними просто играть.

Если не играть, остаётся только читать книжки и питаться мыслями других людей, напрочь растренировывая свой мозг думать оригинально. Так недалеко и до рутины докатиться, и тогда будет действительно "мля, опять доказывать теоремы".

> Если просто так играть получаются статьи "Об одном свойстве одного дифференциального уравнения".
Такие статьи получаются по-другому. Они получаются, когда кому-то очень хочется публикаций, а писать не о чем. Те, кто с удовольствием "играют просто так" накапывают одних свойств одних дифференциальных уравнений слишком дохрена, чтобы им хотелось эти свойства ещё и куда-то записывать.