![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
Вот интересно
Feb. 6th, 2013 04:42 amПреобразование Фурье определяется для функций, отображающих с торсора S какой-нибудь локально-компактной абелевой группы G (называемой группой сдвигов) в какую-нибудь банахову алгебру B. Эти условия как раз обеспечивают ингридиенты для определения свёртки функций:
1) B — алгебра, значит функции в ней можно поточечно умножать и складывать.
2) Более того, банахова, значит сложение обобщается до интегрирования.
3) G локально-компактная, значит на ней есть мера Хаара.
4) Группа сдвигов G действует на S свободно и транзитивно, значит мера переносится на S, т.е. мы можем интегрировать по S.
Как следствие, мы можем вычислить интеграл поточечного произведения двух функций, значит у нас есть (а) эвклидова норма ||f|| и (б) свёртка: для любых двух f, g: S -> B определяется (f*g): G ⟶ B, (f*g)(v) = ||(x ↦ f(x) · g(vx))||.
А теперь, собсно, что мне интересно: в каком наиболее общем сеттинге определяется преобразование Лапласа или, если угодно, операторное исчисление Микусинского. Там нам по-сути нужно, чтобы свёртка была без делителей нуля. Известно что исчисление Микусинского определяется для функций с действительного луча в банахову алгебру, но ведь по идее луч должен обобщаться до клина, так ведь?.. Можно ли, например, определить исчисление Микусинского для пространства Минковского с причинными свёртками (свертками по положительному временеподобному конусу)?
1) B — алгебра, значит функции в ней можно поточечно умножать и складывать.
2) Более того, банахова, значит сложение обобщается до интегрирования.
3) G локально-компактная, значит на ней есть мера Хаара.
4) Группа сдвигов G действует на S свободно и транзитивно, значит мера переносится на S, т.е. мы можем интегрировать по S.
Как следствие, мы можем вычислить интеграл поточечного произведения двух функций, значит у нас есть (а) эвклидова норма ||f|| и (б) свёртка: для любых двух f, g: S -> B определяется (f*g): G ⟶ B, (f*g)(v) = ||(x ↦ f(x) · g(vx))||.
А теперь, собсно, что мне интересно: в каком наиболее общем сеттинге определяется преобразование Лапласа или, если угодно, операторное исчисление Микусинского. Там нам по-сути нужно, чтобы свёртка была без делителей нуля. Известно что исчисление Микусинского определяется для функций с действительного луча в банахову алгебру, но ведь по идее луч должен обобщаться до клина, так ведь?.. Можно ли, например, определить исчисление Микусинского для пространства Минковского с причинными свёртками (свертками по положительному временеподобному конусу)?
