Высшая математика с операционалистской точки зрения

Страшная, страшная вещь высшая математика, словом «матан» нынче модно обзывать любые вещи пугающей непонятности — математический анализ обычно оказывается первым (и часто единственным) из абстрактных предметов, которые студенты проходят (часто мимо). Одна из основных проблем бедных студентов состоит в том, что они абсолютно не понимают, откуда берутся определения самых базовых вещей, с которыми им приходится работать. Мне что-то захотелось рассказать простую, но поучительную историю на эту тему.

Начну я с того, где начинается математика. А начинается математика в голове у каждого здорового головой человека, через годик-два после первого слова «мама». В самом начале люди учатся тыкать пальцем в объекты и называть их специальными названиями. «Мама», «папа», «кресло». Потом научаются говорить прилагательные: «большой», «красный», «кислый», «холодный». И вот на подходе первая великая абстракция: названия характеристик. «цвет» и «размер», «место». Передо мной ребёнок двух с небольшим лет, я спрашиваю его «какой бывает цвет», а он говорит «красный». «А какой ещё?» — «жёлтый». Этому двухлетнему человеку уже известно краеугольное понятие математики, хоть он ещё не знает, как оно называется. Имя этому понятию — пространство.

В данном конкретном случае речь шла о пространстве цветов (на иллюстрации справа его сечение), то есть совокупности всех цветов, которые бывают. Со всякой характеристикой объектов и явлений окружающего мира неразрывно связано пространство значений этой характеристики. Пространство длин, пространство температур, наконец окружающее нас трёхмерное пространство положений объектов. Это воображаемые совокупности всех мыслимых длин, всех мыслимых цветов и т.д.: очень мощная идеализация, ведь может быть такое, что объекта длиной ровно полтора сантиметра вовсе и нет на свете, но длина такая всё-равно есть. Есть в этом самом идеализированном пространстве длин.

А эти самые пространства существуют не в Норвегии и не в Оклахоме, даже не на Альфа Центавра, они существуют сами по себе. Несмотря на то, что они лишь воображаемые, они объективны, они проистекают из окружающей нас реальности и их свойства не зависят от мнения воображающего их человека, они зависят только от самой реальности. Если два разных человека независимо изучают одно и то же пространство, их выводы будут идентичны. Единственная сложность в том, чтобы подразумевать под одинаковыми словами одинаковые вещи, собственно для этого и возникает необходимость в мощном формальном языке, построение и исследование которого составляет существенную часть математики.

Характеристики проистекают из измерений. Цвет, размер, температуру и прочие наглядные вещи мы можем измерять при помощи глаз, рук и других органов восприятия. Измерения могут иметь разный характер, например длины, яркости, громкости и температуры мы можем сравнивать по величине (в смысле, какая больше, а какая меньше), причём любые измерения длины основываются в конце концов именно на сравнении с эталоном. Цвета же, например, сравнивать по величине нельзя, их можно только сличать — нет в пространстве цветов выделенного направления роста. Сличение — это операция определения, два разных перед нами объекта или один и тот же. Сличение является базовой формой измерения. Задать пространство значит точно сказать, что мы измеряем, и указать процедуру сличения. Пространство цветов с точностью до восприятия здоровых людей и пространство цветов с точностью до восприятия дальтоников — это два разных пространства и это необходимо очень чётко понимать. Один «цвет дальтоника» соответствует линейному континууму цветов человека со здоровым трихроматическим зрением. Именно указание процедуры сличения превращает размытую массу в пространство различимых объектов, о котором можно содержательно рассуждать.

Многие кажущиеся философские парадоксы исчезают, если приучиться к мысли, что не бывает «цветов в принципе» и «одинаковости в принципе», бывают только «цвета с точки зрения цветовосприятия дальтоников», «цвета с точки зрения цветовосприятия обычных людей», «цвета с точки зрения цветовосприятия кошек», а понятия одинаковости и разности возникают для них вследствие того, что мы в явном виде договорились о процедуре сличения: для «цветов дальтоников» глазами дальтоников, для «цветов кошек» глазами кошек и так далее.
Иные философы могут часами рассуждать о том, одинаково ли у разных людей ощущение, скажем, синего цвета. Человек с приученным к точности мышлением сперва скажет: «Стоп! Прежде всего нужно договориться о том, что такое ощущение цвета и как такие ощущения сличать. Только после этого сотрясение воздуха превратится в содержательное рассуждение. You cannot speak of that which has no meaning.»

Дискретные и цельные пространства
Если процедура сличения позволяет за конечное число шагов определить, разные перед нами объекты или одинаковые, то пространство называют дискретным. Самый простой случай — пространство букв и цифр. Если я дам вам две буквы/цифры, вы вмиг скажете мне, разные буквы/цифры это или одинаковые. (Хочу ещё раз уточнить, я говорю о пространстве графем, а не пространстве глифов, то есть буквы рассматриваются без учёта вариаций написания.) Так же просто можно сличать натуральные числа. Записал их на бумажке и сравнил последовательность цифр. На базе дискретных пространств математики строят формальные модели для всех других пространств.

Дискретных пространств не так уж много на просторах нашей необъятной родины. Взять вот пространство длин. Какой бы мы не взяли прибор, у него всегда конечная точность, её принято обозначать буквой ε (эпсилон). Если такому прибору дать две длины, он выдаст нам один из трёх ответов: «первая больше», «вторая больше» или «они неразличимы с точностью до ε». Единственным измерительным прибором цвета ещё век назад являлись человеческие глаза, и тут примерно та же картина. Мы можем заготовить две цветных бумажки, а потом показывать их разным людям. И каждый из них сможет ответить одно из двух: «они разные», либо «они неразличимы с точностью моего глаза». И вот в случае таких пространств вместо конкретной процедуры сличения у нас есть только абстрактное определение:Два объекта равны, если они неразличимы с любой точностью ε.То есть, убедиться в равенстве объектов мы никак не можем. Нам понадобилось бы всё время вселенной, чтобы изготавливать всё более точные приборы и убеждаться, что и с их помощью объекты не становятся различимыми. Такая процедура сличения хоть и не применима на практике, но полезна, т.к. она позволяет нам дать вполне чёткое и объективное определение соответствующим пространствам. Рассуждая с использованием непрактичного определения, можно приходить, тем не менее, к практическим выводам, полезным, ткскзть, в народном хозяйстве.

Хозяйке на заметку: В качестве модели для пространства длин можно использовать вымышленное пространство, состоящее из бесконечных десятичных дробей с точностью до «0.99(9) = 1.00(0)». Тот факт, что для точного измерения и записи длины какого-нибудь конкретного объекта не хватит всего времени вселенной и всей бумаги мира, никак не мешает построению на базе этой модели аналитической геометрии и алгоритмов вычислений, уже несколько столетий незаменимых в строительном и инженерном деле, не говоря уже о физике.

Детальный анализ встретившихся «по дороге» понятий часто даёт начало новым областям математики
В процессе разговора о процедуре сличения в цельных пространствах подозрительно много раз встретилось понятие точности прибора. Стóит уделить этому внимание и поразмыслить над его значением, подыскать правильную математическую идеализацию. Этим вопросом в своё время заинтересовался великий математик Феликс Хаусдорф. Он ввёл понятие ε-окрестности точки:Если у нас есть измерительный прибор точности ε, то ε-окрестность этой точки это совокупность всех точек, которые от неё неотличимы при помощи этого прибора.Сама же точность ε определяется как соответствие между точками и их окрестностями. (В математике часто приходится переворачивать представление с ног на голову и использовать определяющее свойство какой-нибудь неведомой хрени в качестве её определения.)

Можно зайти ещё дальше и подумать о совокупности ε-окрестностей каждой точке, порождаемых приборами всевозможных точностей. Каждой точке x таким образом соответствует совокупность N(x) её всевозможных ε-окрестностей. Оказывается, что информация, содержащаяся в этом соответствии, несёт сведения о важнейшем аспекте природы пространства — его «покрое»:

• Мы можем выяснить, состоит ли оно из нескольких несвязных лоскутов или из единого полотнища: внутри одного цельного лоскута мы всегда (то есть, при сколь угодно мелком ε) можем дойти от одной точки до другой через цепь накладывающихся внахлёст ε-окрестностей. Между несвязными лоскутами так не получится.
  
  
• Любое пространство можно разбить на цельные лоскуты, несвязные между собой. Дискретные пространства — это просто пространства, у каждой точки которых существует окрестность, содержащая одну одну эту точку и ничего более. В дискретном пространстве каждый элемент — сам себе такой вот остров, не связный с другими.
  
  
• Мы можем отличить пространство-платочек от пространства-сферы и каждое из них от пространства-бублика, можем определить размерность (количество измерений) пространства.
  
  
• На самом деле, в соответствии N закодированы вообще все свойства пространства, не меняющиеся при применении к нему каких угодно обратимых непрерывных преобразований* (таких как, например, на иллюстрации справа, точное определение чуть ниже). Можно представить, что пространство сделано из резины: всё, что остаётся неизменным при всевозможных растяжениях, скручиваниях и выворачиваниях этой резины, закодировано в соответствии N. Вот тут можно посмотреть чудесное (очень красивое, простое и наглядное) видео, которое даёт представление о таких свойствах: http://youtu.be/BVVfs4zKrgk. Изучением таких свойств занимается раздел математики под названием алгебраическая топология.
  

К сожалению, у Хаусдорфа не было в распоряжении такого замечательного слова как «покрой», поэтому в качестве названия для соответствия N тоже прижилось пугающее греческое слово «топология». Топология позволяет в наиболее общей форме сформулировать (важнейшее в математическом анализе) понятие предела и, через него, понятие непрерывности, после чего можно доказать, что непрерывные преобразования сохраняют топологию — факт уже упомянутый абзацем выше в предложении, помеченном звёздочкой.

Хозяйке на заметку

Что такое предел? Представьте себе функцию f(x) = 1/x, см. иллюстрацию справа. Ни при каком конечном значении x она не равняется нулю, но при x, стремящемся к бесконечности, f(x) стремится к нулю. Ноль в таком случае называется пределом f(x) при x → +∞. Как это формализовать, как найти математически точное определение предела? В этом нам поможет введение понятия «хвост». Хвост функции f(x) в сторону положительной бесконечности это совокупность значений f(x) начиная с какого-то фиксированного x и до бесконечности.
Число z называют пределом функции f(x) при x → +∞, если для каждой (сколь угодно малой) ε-окрестности z найдётся хвост, целиком лежащий в ней.Это определение применимо без каких либо изменений, и если f задана не на действительных числах, а на любом бесконечном наборе объектов с выделенным направлением (такие функции ещё называют направленностями). В частности это определение включает случай бесконечных последовательностей a_n, которые можно рассматривать как функции на натуральных числах.

Можно определить пределы для ещё более общего типа объектов — так называемых фильтров. Наглядная идея тут следующая: фильтр состоит из бесконечного набора сеточек с отверстиями в специфических местах, причём чем дальше, тем меньше в сеточках отверстий. Через этот фильтр мы «просеиваем» пространство. Если по мере просева струйка сходится к одной точке, то эта точка называется пределом фильтра. Сеточка — это просто совокупность точек пространства, которые эта сеточка пропускает. Фильтр задаётся совокупностью сеточек, такой что для двух любых сеточек A и B в ней найдётся третья сеточка C, все элементы которой содержатся и в A, и B одновременно (то есть C фильтрует как минимум настолько же строго, как A и B вместе). Примеры фильтра — совокупность всех хвостов функции f(x) и совокупность N(p) всех окрестностей данной точки p. Каждых последующий хвост, содержится в предыдущем, самый что ни на есть пример устрожающихся сеточек, с пределе сужающих «струйку» к приделу функции. Совокупность окрестностей N(p) заданной точки p последовательно выфильтровывает всё, кроме самой точки p (исключая патологический случай сращённых точек). Определение предела фильтра очень просто:Число z называют пределом фильтра F, если для каждой (сколь угодно малой) ε-окрестности z найдётся элемент фильтра P (сеточка), целиком лежащий в этой окрестности.
Что такое непрерывная функция? Это такая функция y = f(x), у которой плавное изменение аргумента x приводит к плавному (без скачков) изменению результата y. Иными словами, «малое» изменение аргумента вызывает «малое» изменение результата. То есть, если поприменять f ко всем окрестностям N(x) точки х, должен получиться фильтр, сходящейся к одной точке, а именно к f(x). Функция непрерывна если и только если это условие выполнено для всех x.

Иногда, в особенности при исследовании сходимости последовательностей и направленностей, следует рассматривать топологии, порождаемые разными «классами приборов», присущими разным формам представления объектов. Взять, например, рациональные числа. Можно рассматривать их совокупность как пространство с дискретной топологией, а можно как пространство с топологией проистекающей из операции сравнения по величине. С операционалистской точки зрения, это два разных пространства. Первый вариант соответствует рациональным числам, представленным в виде записанной на бумажке сокращённой целочисленной дроби a/b, и для их сличения чисел достаточно попарно сличить числители и знаменатели. Второй вариант соответствует рациональным числам, представленным в качестве точек на прямой, которые мы сравниваем их при помощи глаза и лупы с произвольно большим (но не бесконечным) увеличением. Во втором случае, в отличие от первого, не существует способа убедиться в равенстве двух чисел за конечное время.

Хозяйке на заметку: В особо извращённых случаях (например в случае пространства линейных отображений между специфическими бесконечномерными пространствами) одной и той же совокупности объектов может соответствовать штук пять различных топологий, и каждая со своим операционалистическим толкованием и применением в народном хозяйстве в виде математической физики. Исследованием тонких (зачастую далёких от наглядности) аспектов топологии, важных в плане сходимости и свойств непрерывных отображений, занимается раздел математики под названием общая топология.

Вот и сказочке конец, а кто слушал — молодец. Такое вот Грундцюге дер Менгенлере*.

___
∗ Grundzüge der Mengenlehre — magnum opus Феликса Хаусдорфа, монография, с которой началась общая топология. Как это часто случается, именно в исходном труде лучше и понятнее всего видны исходные мотивации, однако разбор осложнён архаичностью изложения и неизвестностью на момент написания многих общеизвестных ныне фактов.