(no subject)

Есть у нас нынче такой предмет, под названием "Математические методы Физики", или сокращённо MaPhy. Входят туда ТФКП и Функан на рабочекрестьянском уровне. Т.е. почти без доказательств, почти без определений. Самое главное - чтоб работало.

Так вот, я просто херею с этой прикладной магии. Вначале нам вводят Преобразование Фурье на L², т.е. только квадратно-интегрируемых функциях. Потом, в первом же домашнем задании просят отфурьячить, например, ступеньку. (s(x) 0 для х < 0, 1 для остальных х) По-моему, даже дегенерату ясно, что ступенька ну никак не может быть квадратно-интегрируемой. Окей, подставим в интеграл. Теперь даже дегенерату ясно, что интеграл расходится.
И тут сноска в листочке с заданием: Вначале профурьячте ящик ширины w (z(x) = 1 для 0 < x < w, 0 для остальных х), а потом устремите w к бесконечности. Давайте посмотрим, что мы на самом деле делаем:

По-определению (с точностю до констант; экономлю место):
ś(k) = Int[-oo, +oo] s(x) exp(ikx) dx

Ясно, что ступенька - предел ящика для w -> oo. Т.е.
s(x) = lim[w -> oo] z_w(x)

Можем подставить в наше интегральное выражение:
ś(k) = Int[-oo, +oo] lim[w -> oo] z_w(x) exp(ikx) dx

В сноске нам предлагают устремить к бесконечности w для уже трансформированного ящика:
ś(k) =(?) lim[w -> oo] ź_w(k)

Подставляя по определению:
ś(k) =(?) lim[w -> oo] Int[-oo, +oo] z_w(x) exp(ikx) dx

То есть, нам скрыто предлагают вышести предел из под интеграла:
ś(k) = Int[-oo, +oo] lim[w -> oo] z_w(x) exp(ikx) dx
=> (?)
ś(k) = lim[w -> oo] Int[-oo, +oo] z_w(x) exp(ikx) dx

А вот это как раз шаг далеко не тривиальный. Чтобы его сделать, нужно как минимум чтобы интеграл существовал. А тут он как раз не существует! Можно за считанные минуты придумать контрпример, показывающий несостоятельность этой операции. Вопрос: Что за херня?

Ответ: Прикладная магия. Или "математика для физиков".
"Мы часто будем рассматривать нашу QM-систему, как заключённую в ящик, и лишь в самом конце устремлять границы ящика к бесконечности. Грязновато, но очень удобно". Конец цитаты.

PS: Благодаря этому пределу мы и вправду теряем одно слогаемое: sqrt(pi/2) DiracDelta(k)
PPS: Ну, ничего. На нормальном матане нам обещали ближе к концу семестра ввести распределения. Темперированные распределения - естественный ареал обитания преобразования Фурье. Они включают все интересующие нас (обобщённые) функции. В следующем семестре обещали ввести и т.н. гиперфункции, т.е. распределения на базе множества аналитических функций. Это нужно, чтобы математически чисто ввести интегралы Фурье. (Хотя и в слишком слабом смысле. В достаточно сильном смысле всё обещает ввести Джет Неструев, у которых на летней школе я был в Италии. Но пока чего-то не ввели.)