![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
Вот возьмём для интересу векторное пространство последовательностей, то есть, отображений {NN -> RR}, снабженное покомпонентным сложением
$ a + b := (a_n + b_n)_n
и покомпонентным же умножением
$ k·a := (k·a_n)_n
По началу кажется, что эта собака имеет мерность {aleph_0}. Кажется, что базис состоит из последовательностей (1, 0, 0,..), (0, 1, 0, 0,..), (0, 0, 1, 0,..) и так далее. Т.е. везде нули и только на {n}-том месте еденица. А вот фига. Это базис для подпространства нашего пространства последовательснотей. А именно, для подпространства конечных последовательностей.
В самом деле:
(=>) Если последовательность конечная, то есть, начиная с некого {m} все её члены — нули, нам достаточно взять лишь первых {m} векторов из вышеназванных, перемножить с сответствующими членами последовательности и сложить. Вуаля, любая конечная последовательность представляется линейной комбинацией вышеназванных векторов.
(<=) Линейная комбинация по определению является суммой _конечного_ числа векторов, взятых с определёнными коэффициентами. Если взять конечное число векторов из вышеперечисленных, у какого-то из них будет самый большой (из взятых) порядковый номер {n}. У него нули будут начинаться с {n-1}-ого члена, а у всех остальных — ещё раньше. С какими коэффициентами вектора не бери и как не складывай, дальше позиции {n+1} никакое число не заберётся. Начиная с этого места у итоговой последовательности будут стоять только нули. Т.е. все линейные комбинации указанных векторов — конечные последовательности.
Элементарно показать, что если бы это пространство вообще имело счётный базис, счётный базис бы имело и пространство действительных чисел над рациональными, что, конечно же, неверно. Так что, базис пространства последовательностей имеет мощность континуума. Интересно, что я этого раньше не заметил и честно думал, что { dim_KK(X -> KK) = card(X) }. Полезно иногда готовиться к экзаменам, моск включается.
PS: Наверняка, это самый классический пример и его все разбирали. А я вот чего-то только счас допёр.
PPS: Элементарно показать, что множество всех функций {RR -> RR} имеет мощность {2^c}. А вот какую мощность имеют непрерывные функции того же вида? *опой чую, что просто континуум. Но понять не могу, почему.
$ a + b := (a_n + b_n)_n
и покомпонентным же умножением
$ k·a := (k·a_n)_n
По началу кажется, что эта собака имеет мерность {aleph_0}. Кажется, что базис состоит из последовательностей (1, 0, 0,..), (0, 1, 0, 0,..), (0, 0, 1, 0,..) и так далее. Т.е. везде нули и только на {n}-том месте еденица. А вот фига. Это базис для подпространства нашего пространства последовательснотей. А именно, для подпространства конечных последовательностей.
В самом деле:
(=>) Если последовательность конечная, то есть, начиная с некого {m} все её члены — нули, нам достаточно взять лишь первых {m} векторов из вышеназванных, перемножить с сответствующими членами последовательности и сложить. Вуаля, любая конечная последовательность представляется линейной комбинацией вышеназванных векторов.
(<=) Линейная комбинация по определению является суммой _конечного_ числа векторов, взятых с определёнными коэффициентами. Если взять конечное число векторов из вышеперечисленных, у какого-то из них будет самый большой (из взятых) порядковый номер {n}. У него нули будут начинаться с {n-1}-ого члена, а у всех остальных — ещё раньше. С какими коэффициентами вектора не бери и как не складывай, дальше позиции {n+1} никакое число не заберётся. Начиная с этого места у итоговой последовательности будут стоять только нули. Т.е. все линейные комбинации указанных векторов — конечные последовательности.
Элементарно показать, что если бы это пространство вообще имело счётный базис, счётный базис бы имело и пространство действительных чисел над рациональными, что, конечно же, неверно. Так что, базис пространства последовательностей имеет мощность континуума. Интересно, что я этого раньше не заметил и честно думал, что { dim_KK(X -> KK) = card(X) }. Полезно иногда готовиться к экзаменам, моск включается.
PS: Наверняка, это самый классический пример и его все разбирали. А я вот чего-то только счас допёр.
PPS: Элементарно показать, что множество всех функций {RR -> RR} имеет мощность {2^c}. А вот какую мощность имеют непрерывные функции того же вида? *опой чую, что просто континуум. Но понять не могу, почему.
![[livejournal.com profile]](https://www.dreamwidth.org/img/external/lj-userinfo.gif){kind=small}