Красиво (математическое)

Когда от теоретикомножественной топологии совершают перелом к алгебраической, по началу очень бесит, что "пути" на пространствах S определяются как непрерывные отображения из вещественного отрезка [0, 1] в S. Бесит что? То что в топологии всё до того определялось каким-то естественным образом, а потом вдруг зачем-то взяли некий выделенный объект (действительные числа) и начали применять его так, будто бы он был каким-то фундаментальным.

К счастью, это не так: будем называть "отрезкоподобным объектом" топологическое пространство I с выделенными различными замкнутыми точками 0 и 1 (начало и конец) и снабженное (для возможности конкатенации путей) отображением dup: I → (I + I) / (first 1 = second 0). Выясняется (Freyd; Leinster), что обыкновенный вещественный отрезок [0, 1] является универсальным отрезкоподобным объектом (терминальным объектом подкатегории отрезкоподобных объектов в категории топологических пространств).

Это самый короткий и естесвенный известный мне способ определить линейный континуум с концами.

* * *
Как выясняется, двойственным образом можно определить банахово пространство L¹(I) и получить теорию меры и лебегов интеграл почти бесплатно: http://www.maths.ed.ac.uk/~tl/cambridge_ct14/cambridge_ct14_talk.pdf