![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
Атака математиков
Jun. 18th, 2013 12:36 amРаспределение простых чисел — завораживающая штука. Есть по части простых чисел масса простых и понятных вопросов, ответы на которые ещё неизвестны. Один из таких вопросов был поставлен в первой половине 19ого века:
"Существует много простых чисел-близнецов, следующих через одно. Например, (5, 7), (17, 19), (41, 43). Правда ли что таких пар бесконечное количество?"
Кто и когда поставил этот вопрос достоверно неизвестно, но в публикации 1849 года описано его обобщение, а сам вопрос цитируется как уже известный. Прошло более 150 лет, а ответ на этот вопрос так и неизвестен. Что нужно делать, когда не можешь доказать гипотезы, и не знаешь с какой стороны подойти к решению? Кажетс Халмош говорил, что в этом случае следует поставить более слабую гипотезу и попытаться доказать её.
Как можно ослабить гипотезу о простых числах, следующих через одно? Например допустить более большую дыру между ними. Тогда гипотеза звучит так: "Существует бесконечное число пар простых чисел a и b, таких что a - b < H, где H некое фиксированное число. Эту гипотезу тоже лет сто никто доказать не мог, но совсем недавно, этой весной доказал Zhang Yitang. В апреле он сделал анонс доказательства, а 14ого мая вышла его статья. В ней он доказал эту гипотезу для H = 70000000 (70 миллионов). Подход оказался очень плодовитым, а статья добротной, так что другие математики тут же смогли начать пользоваться новыми методами. И уцепились они знатно, открылся проект Polymath8, в результате которого за месяц результат был уточнён в 1000 с лишним раз, на данный момент гипотеза доказана уже для H = 60744. Вот ведь молодцы!
Но главное, конечно, впереди. Вопрос о простых числах-соседях, он в общем-то праздный, сам по себе ответ на него не является каким-то мощным инструментом, углубляющим наше понимание простых чисел и позволяющим с его помощью решать новые классы задач. Таким инструментом является глубокое обобщение этого результата — гипотеза Бейтмана-Хорна (http://en.wikipedia.org/wiki/Bateman%E2%80%93Horn_conjecture), которая является обобщением теоремы о распределении простых чисел и включает гипотезу о простых числах-соседях как малюсенький частный случай. Говоря очень неформальным языком, она сообщает нам, что простые числа распределены псевдослучайно в очень общем смысле: если рассматривать не отдельные простые числа, а их пары, тройки и т.д., то в их распределениях асимптотически отсутствуют какие-либо корреляции конечного порядка, кроме хорошо известных тривиальных корреляций, изученных методами элементарной теории делимости ещё во времена Дирихле. В конечномы итоге доказательство этой гипотезы позволило бы превратить в контексте многих задач в строгое доказательство один неформальный эвристический инструмент (Cramér–Granville heuristic), уже много десятилетий неизменно дающий правильные ответы на сложные вопросы по поводу простых чисел.
Вкупе с обобщенной гипотезой Римана (являющейся в том числе инструментом для превращения асимптотических результатов в сильные), это, видимо, должно давать способ превращать эвристические обоснования таких гипотез, как, например, гипотеза Гольдбаха, в строгие доказательства.
"Существует много простых чисел-близнецов, следующих через одно. Например, (5, 7), (17, 19), (41, 43). Правда ли что таких пар бесконечное количество?"
Кто и когда поставил этот вопрос достоверно неизвестно, но в публикации 1849 года описано его обобщение, а сам вопрос цитируется как уже известный. Прошло более 150 лет, а ответ на этот вопрос так и неизвестен. Что нужно делать, когда не можешь доказать гипотезы, и не знаешь с какой стороны подойти к решению? Кажетс Халмош говорил, что в этом случае следует поставить более слабую гипотезу и попытаться доказать её.
Как можно ослабить гипотезу о простых числах, следующих через одно? Например допустить более большую дыру между ними. Тогда гипотеза звучит так: "Существует бесконечное число пар простых чисел a и b, таких что a - b < H, где H некое фиксированное число. Эту гипотезу тоже лет сто никто доказать не мог, но совсем недавно, этой весной доказал Zhang Yitang. В апреле он сделал анонс доказательства, а 14ого мая вышла его статья. В ней он доказал эту гипотезу для H = 70000000 (70 миллионов). Подход оказался очень плодовитым, а статья добротной, так что другие математики тут же смогли начать пользоваться новыми методами. И уцепились они знатно, открылся проект Polymath8, в результате которого за месяц результат был уточнён в 1000 с лишним раз, на данный момент гипотеза доказана уже для H = 60744. Вот ведь молодцы!
Но главное, конечно, впереди. Вопрос о простых числах-соседях, он в общем-то праздный, сам по себе ответ на него не является каким-то мощным инструментом, углубляющим наше понимание простых чисел и позволяющим с его помощью решать новые классы задач. Таким инструментом является глубокое обобщение этого результата — гипотеза Бейтмана-Хорна (http://en.wikipedia.org/wiki/Bateman%E2%80%93Horn_conjecture), которая является обобщением теоремы о распределении простых чисел и включает гипотезу о простых числах-соседях как малюсенький частный случай. Говоря очень неформальным языком, она сообщает нам, что простые числа распределены псевдослучайно в очень общем смысле: если рассматривать не отдельные простые числа, а их пары, тройки и т.д., то в их распределениях асимптотически отсутствуют какие-либо корреляции конечного порядка, кроме хорошо известных тривиальных корреляций, изученных методами элементарной теории делимости ещё во времена Дирихле. В конечномы итоге доказательство этой гипотезы позволило бы превратить в контексте многих задач в строгое доказательство один неформальный эвристический инструмент (Cramér–Granville heuristic), уже много десятилетий неизменно дающий правильные ответы на сложные вопросы по поводу простых чисел.
Вкупе с обобщенной гипотезой Римана (являющейся в том числе инструментом для превращения асимптотических результатов в сильные), это, видимо, должно давать способ превращать эвристические обоснования таких гипотез, как, например, гипотеза Гольдбаха, в строгие доказательства.
