А разгадка одна...

Классические теории поля на искривлённом пространстве-времени состоят из следующих ингридиентов:
1) Лоренцево многообразие (M, g) — «подлежащее пространство-время».
2) Расслоение F («расслоение полей») над M, являющееся тензорным произведением конечного числа спинорных расслоений. Эти расслоения по одиночке называют «фотонным полем», «электронным полем» и т.д., сечения этих расслоений называют конфигурациями соответствующих полей, а сечения расслоения F — общей конфигурацией. Пространство общих конфигураций обзовём Ф.
3) Отображение D: Ф → «лин. дифф. оператор 1. порядка, действующий на Ф», такой что действие этого оператора в точке р зависит только от конфигурации поля в этой же точке, а квадрат главного символа, опщуенный на M — метрика. Это отображение называется полным оператором Дирака и выделяет среди всевозможных конфигураций полей физические решения при помощи уравнения движения D_ξ ξ = 0. То есть, если в какой-то точке x выбрать тетраду направлений (t, x, y, z), то уравнение движения D_ξ ξ = 0 скажет там, как посчитать ∂_tξ, из значения и производных ξ в других «пространственных» направлениях в этой же самой точке. Если D не зависит от ξ, уравнения движения получаются линейными уравнениями первого порядка (волновыми), а решения скучными (свободные поля).

Стартовая точка некоммутативногеометрического подхода к теории поля вот в чём:
   На M целиком есть клёвая комплексная С*-алгебра A, действительные элементы которой сочетают в себе функцинальность координат на многообразии и локальных фреймов в F, и уважая при этом спин-структуру. Таким образом спаривание действительных компактных элементов этой алгебры (тестовых функций) с сечениями F даёт нам гладкую функцию на M, которую можно проинтегрировать и получить число: «измерить поле в конкретных координатах в конкретной сколь угодно малой области с заданным размыванием». Кроме прочего, можно блестяще красиво учесть калибровочные симметрии (буде они наличествуют), наравне со внешними, соответствующим образом модифицировав алгебру.

Можно, наверное, даже переопределить модуль сечений, как пространство линейных функционалов на таких «тестовых функциях», что круто потому что во-первых он будет сразу калибровочно-инвариантный без фиксации калибровки руками, а во-вторых потому что таким образом допускаются сингулярные сечения, имеющие физический смысл даже в классических ТП, не говоря уже о квантовании. В квантовом случае тестовые функции размазывают операторозначные распределения и в результате получаются наблюдаемые. Внимание-внимание, при переходе от сечений F к «обобщённым сечениям» существенно используется форма объёма, так что решить обойтись как-нибудь без фиксированной метрики (например если хочется гравитацию поквантовать), то так не выйдет.

Anyway, алгебра A и пространство Ф, элементы которых можно спаривать, уже содержат в себе всю информацию об M и F, про которые можно забыть. В свою очередь, D содержит всю информацию о метрике, причинной структуре и динамике. Ален Конн придумал делать из таких штук спектральные тройки (Ф, A, D).. но.. не совсем. В общем, для того, чтобы то, что я тут написал, было спектральной тройкой, надо чтобы Ф было гильбертовым пространством, на котором A действует как операторная алгебра, а не просто какое-то линейное пространство, с которым у элементов A есть спаривание. Да и от D требуют дополнительных свойств, которые в нашем случае не наличествуют.

Напомню, что хоть расслоение полей F и векторное и в каждой своей точке наделено псевдоскалярным произведением, но Ф целиком пространством Крейна, конечно же, не является. Главным образом потому, что в физических случаях сечения-решения (те самые фотоны-электроны) протяжены во времени бесконечно, и как под ними не интегрируй, конечного числа не получишь. Ну и кроме того, в том как слепить из точечных псевдоскалярных произведений глобальное, скрыт огромный градус произвола.

В то же время, если выделить в M пространственно-подобное сечение S (риманово многообразие) и ограничить Ф на него, то ограничение канонически становится гильбертовым пространством. Более того, точечные нормы отдельных полей оказываются калибровочно-инвариантны и допускают привычную трактовку «количества частицы» в данной точке.
Именно этому случаю соответствует формализм спектральных троек (H, A, D). В качестве гильбертова пространства конфигураций H берётся ограничение Ф на S, в качестве алгебры A алгебра, порождённая ограниченными координатными функциями на S, в качестве D оператор Дирака, проистекающий из метрики S. Только это совсем другой оператор Дирака, и какое отношение он имеет к динамике на всём M я не понимаю.

Если сечениям соответствуют спектральные тройки, то что же соответствует целому?

Добавка

А ещё тем, кто прочитал следующий пост могу дать небольшую добавку про перенормировки. Вот я сказал, что можно определить «обобщённые конфигурации поля», как функционалы на компактных тестовых функциях. Разумеется, эти функционалы (как и любые другие распределения) вообще говоря нельзя перемножать поточечно. Умножение работает в том частном случае, когда сингулярные носители двух распределений не пересекаются. В ситуации, когда сингулярные носители пересекаются в изолированных точках, делу можно помочь, применив тестовые функции и форму объёма. Начинаем с того, чтобы перемножать не распределения, а последовательности аппроксимирующих их функций со всё уменьшающимся носителем. Затем вспомним о физической стороне вопроса: если измерять напряженность получающегося поля “грубым прибором”, то есть измерять его грубой тестовой функции с носителем много больше носителей наших аппроксиматоров, то результат не должен зависеть от объёма носителей аппроксимантов. Если он растёт (а он растёт по некому степенному закону, вообще говоря неизотропно), то по мере построения предела, результат нужно перенормировать, используя форму объёма. В весьма общем случае можно показать, что у этого процесса есть fixed point, причём только один. Именно он и называется тогда эффективным произведением распределений.

Многие ошибочно считают, что идея перенормировок возникла и применяется только в квантовой теории поля, что совершенно ошибочно. Уже в классической формулировке электродинамики у точечного электрона должна была бы быть энергия самовзаимодействия, равная бесконечности. Это проблема возникает из-за попытки наивно возвести в квадрат дельта-распределение. Использование эффективного произведения приводит полному решению этой проблемы.

Но всё же эффективное произведение работает только в случае, когда сингулярные носители пересекаются в изолированных точках. А как же быть с остальными случаями?
Выясняется, что среди обобщённых конфигураций полей можно выделить обширный класс потенциальных решений: т.н. причинные конфигурации. Уравнение D_ξ ξ = 0 можно рассматривать в малой окрестности данной точки, как линейное волновое уравнение, и соответственно можно потребовать, чтобы решение не содержало волновых составляющих, движущихся быстрее скорости света, что верно как в классическом, так и в квантовом случае. Кроме того, в малой окрестности любой точки это уравнение обратимо по времени, что делает решение также симметричным по времени. Перемножая два таких распределения, мы можем подбирать антисимметризованные последовательности аппроксимантов, что позволяет определить причинно-симметризованное эффективное произведение
на всём векторном пространстве причинных распределений, превращая его в коммутативную (но неассоциативную) алгебру. (С её элементами у «тестовых функций» всё ещё есть каноническое спаривание, не смотря на то, что законы координатного преобразования композитных полей зачастую очень и очень сложны.) Тут следует заметить, что для выделения класса таких конфигураций существенным образом используется фиксированная лоренцева метрика, так что квантователи гравитации снова в пролёте. И квантователи конформных теорий поля тоже, потому что там нет фиксированной формы объёма.

Дорогие слушатели спрашивают, для чего в народном хозяйстве воспонадобилась такая алгебра. А понадобилась она уже действительно в квантовой теории поля. В классическом случае лагранжиан по большому счёту нужен только для того, чтобы найти уравнения движения. Если у нас уже есть оператор Дирака, то лагранжиан никому и не сдался. Увы, в квантовых теориях поля всё хуже. Поэтому нам нужно уметь строить лагранжиан, как минимум, как полином от исходных полей и их производных. В идеале хорошо бы иметь на этой алгебре исчисление аналитических функций, а оно в каком-то смысле есть. Если аналитическую функцию разложить в ряд тейлора, а затем вместо аргументов подставить некие элементы нашей алгебры, возникнет неопределённость: произведение у нас неассоциативно, нужно выбрать порядок или как-то симметризовать. Выясняется, что для экспоненциальной функции существует один и только один способ симметризации, такой что экспонента причинного функционала, посчитанная до n-ного члена тоже является причинным функционалом. Вся комбинаторика, связанная с правильным (единственно возможным) вычислением экспонент полиномов полей и их производны блестяще проанализирована в работе Конна-Краймера и связана со структурой подлежащих алгебр Хопфа. К сожалению известно, что получаемые ряды асимптотические и на самом деле не сходятся. Найти правильное определение исчисления функций или хотя бы просто экспоненцирования на данной алгебре — давно открытый вопрос матфизики, эквивалентный вопросу поиска правильного определения интеграла Фейнмана. Вопрос ещё и в том, что значит «правильное», однако зацепки тут есть: для ряда «игрушечных» квантовых теорий поля известны и лагранжианы, и точные уравнения движений, полученные совершенно другими способами, без привлечения лагранжиана. Экспоненцирование в данной алгебре и интеграл Фейнмана должны быть определёны в точности таким образом, чтобы интегрировать там дифференциальные уравнения движения.