![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
Entry tags:
Элементарное
Элементарными функциями называются функции, которые можно выразить, используя функции exp, log и сложение с целыми комплексными коэффициентами.
Давайте примеры приведём. Вот например умножение и деление элементарные функции? Конечно! Потому что
a ⋅ b = exp(log(a) + log(b))
a / b = exp(log(a) − log(b))
Значит все рациональные числа и все рациональные функции элементарны.
Если p элементарное число, то возведение в степень p тоже элементарно, потому как
ap = exp(p ⋅ log(a))
Стало быть всякие элементарны квадратные корни и вообще выражения в радикалах.
Все тригонометрические функции элементарны потому что могут быть выражены через косинус cos(x) и обратный к нему arccos(x), а они в свою очередь вычисляются по формулам
cos x = [exp(ix) + exp(-ix)]/2
arccos x =
В том числе элементарно число пи = arccos(0), число e = exp(1) и числа, выразимые с использованием этих в том числе и этих констант в радикалах.
Казалось бы, такой огромный класс функций и чисел, замкнут относительно их произвольного комбинирования и даже дифференцирования. Чего же в нём не хватает?
1) В первую очередь, отсутствия обратных функций! К сложению есть (вычетание), к умножению (деление), к возведению в степень (корни и логарифмы) тут как тут, а вот к произвольной элементарной функции обратная как раз обычно не элементарна. Причём обратимость внутри класса элементарных перестает работать уже на самых простых функциях: многочленах.
Полиномиальное уравнение x5 + x = y в радикалах не решается, т.е. функция, обратная к f(x) = x5 + x, не является элементарной. Кстати, эта функция имеет специальное название: ультрарадикал пятой степени. Если её добавить к обычным квадратным и кубическим корням, то можно записать универсальную формулу для решения уравнений пятой степени. Гильберт поставил вопрос о существовании семейства таких алгебраических функций uradn(x) ("ультрарадикалов n-ной степени"), что в терминах радикалов и ультрарадикалов степеней не больше n можно записать универсальную формулу решения уравнений степени n. Увы, это не так (Shreeram Abhynkar, http://www.emis.de/journals/SC/1997/2/pdf/smf_sem-cong_2_1-11.pdf), с другой стороны это возможно используя гиперэллиптические тета-функции (http://www.math.leidenuniv.nl/~psh/CMpapers/Guardia.pdf).
Если, допустить, однако, более сложные уравнения, чем полиномиальные, то количество спецфункций, которые нужно подобавлять, чтобы всё решалось, совершенно взрывается. Хотя встречаются и классы уравнений, такие что для решения всех уравнений этого класса достаточно одной спецфункции. Например если взять функцию LambertW (обратная к f(x) = x⋅exp(x)), то экспоненциально-полиномиальные уравнения сводятся к полиномиальным.
2) Интегралы элементарных функций и решения дифференциальных уравнений в элементарных функциях часто неэлементарны. Для решения дифференциальных уравнений матфизики и всяких ценных в народном хозяйстве интегралов были придуманы широчееенные классы спецфункций: эллиптические и гипергеометрические. А для решения линейных дифференциальных уравнений с задержкой необходимо и достаточно дополнить элементарные функции и спецфункцией LambertW.
3) Сложение это итерированный инкремент, умножение — итерированное сложение, возведение в степень — итерированное умножение. Используя примитивно-рекурсивные определения можно ведь и дальше продолжать этот ряд: тетрация, квинтерация и так далее. Существуют и другие естественные и красивые примитивно-рекурсивные функции, возникающие естественно в теории чисел и теории сложности алгоритмов. Факториал хоть например. И про некоторые из этих функций известно, что они определяются не только для натуральных чисел: можно построить естественные голоморфные обобщения этих функций для всех комплексных чисел (для факториала это, например, знаменитая Г-функция). Так вот эти самые функции (не говоря уже об обратным им) нефига не элементарны. И тут откуда-то вылезает эта LambertW: через неё можно выразить аналоги корней для тетрации.
По поводу этой LambertW даже стали раздаваться голоса, не причислить ли её к лику элементарных функций. Уж больно много где возникает. Но по-моему, всё-таки зря раздаются, та же Г-функция возникает в сто раз чаще, а её элементарной никто считать не собирается.
Давайте примеры приведём. Вот например умножение и деление элементарные функции? Конечно! Потому что
a ⋅ b = exp(log(a) + log(b))
a / b = exp(log(a) − log(b))
Значит все рациональные числа и все рациональные функции элементарны.
Если p элементарное число, то возведение в степень p тоже элементарно, потому как
ap = exp(p ⋅ log(a))
Стало быть всякие элементарны квадратные корни и вообще выражения в радикалах.
Все тригонометрические функции элементарны потому что могут быть выражены через косинус cos(x) и обратный к нему arccos(x), а они в свою очередь вычисляются по формулам
cos x = [exp(ix) + exp(-ix)]/2
arccos x =
В том числе элементарно число пи = arccos(0), число e = exp(1) и числа, выразимые с использованием этих в том числе и этих констант в радикалах.
Казалось бы, такой огромный класс функций и чисел, замкнут относительно их произвольного комбинирования и даже дифференцирования. Чего же в нём не хватает?
1) В первую очередь, отсутствия обратных функций! К сложению есть (вычетание), к умножению (деление), к возведению в степень (корни и логарифмы) тут как тут, а вот к произвольной элементарной функции обратная как раз обычно не элементарна. Причём обратимость внутри класса элементарных перестает работать уже на самых простых функциях: многочленах.
Полиномиальное уравнение x5 + x = y в радикалах не решается, т.е. функция, обратная к f(x) = x5 + x, не является элементарной. Кстати, эта функция имеет специальное название: ультрарадикал пятой степени. Если её добавить к обычным квадратным и кубическим корням, то можно записать универсальную формулу для решения уравнений пятой степени. Гильберт поставил вопрос о существовании семейства таких алгебраических функций uradn(x) ("ультрарадикалов n-ной степени"), что в терминах радикалов и ультрарадикалов степеней не больше n можно записать универсальную формулу решения уравнений степени n. Увы, это не так (Shreeram Abhynkar, http://www.emis.de/journals/SC/1997/2/pdf/smf_sem-cong_2_1-11.pdf), с другой стороны это возможно используя гиперэллиптические тета-функции (http://www.math.leidenuniv.nl/~psh/CMpapers/Guardia.pdf).
Если, допустить, однако, более сложные уравнения, чем полиномиальные, то количество спецфункций, которые нужно подобавлять, чтобы всё решалось, совершенно взрывается. Хотя встречаются и классы уравнений, такие что для решения всех уравнений этого класса достаточно одной спецфункции. Например если взять функцию LambertW (обратная к f(x) = x⋅exp(x)), то экспоненциально-полиномиальные уравнения сводятся к полиномиальным.
2) Интегралы элементарных функций и решения дифференциальных уравнений в элементарных функциях часто неэлементарны. Для решения дифференциальных уравнений матфизики и всяких ценных в народном хозяйстве интегралов были придуманы широчееенные классы спецфункций: эллиптические и гипергеометрические. А для решения линейных дифференциальных уравнений с задержкой необходимо и достаточно дополнить элементарные функции и спецфункцией LambertW.
3) Сложение это итерированный инкремент, умножение — итерированное сложение, возведение в степень — итерированное умножение. Используя примитивно-рекурсивные определения можно ведь и дальше продолжать этот ряд: тетрация, квинтерация и так далее. Существуют и другие естественные и красивые примитивно-рекурсивные функции, возникающие естественно в теории чисел и теории сложности алгоритмов. Факториал хоть например. И про некоторые из этих функций известно, что они определяются не только для натуральных чисел: можно построить естественные голоморфные обобщения этих функций для всех комплексных чисел (для факториала это, например, знаменитая Г-функция). Так вот эти самые функции (не говоря уже об обратным им) нефига не элементарны. И тут откуда-то вылезает эта LambertW: через неё можно выразить аналоги корней для тетрации.
По поводу этой LambertW даже стали раздаваться голоса, не причислить ли её к лику элементарных функций. Уж больно много где возникает. Но по-моему, всё-таки зря раздаются, та же Г-функция возникает в сто раз чаще, а её элементарной никто считать не собирается.
no subject
no subject
Если функция в каких-то точках не определена, имеет разрывы или не гладкая (т.е. не определены её производные начиная с какого-то порядка), то в этих точках она конечно совсем не может раскладываться в ряд. Во всех остальных точках ряды формально всегда можно определить и вопрос в том, какой у них радиус сходимости и на каком интервале предел ряда совпадает со значениями функции. Бывают примеры, когда такой интервал состоит из одной точки. Например, функция f(x) = exp(x^(-2)), дополненная в нуле по непрерывности (f(0) = 0). В нуле все её производные равны нулю, так ряд тейлора тоже нулевой. Вот побольше о ней: http://en.wikipedia.org/wiki/Flat_function
Для некоторых нужд ещё часто используют такую специальную гладкую функцию, которая вне отрезка -1..1 равна нулю, на отрезке -1/2..1/2 равна 1, а в остальных двух кусках плавно переходит от 0 к 1 и обратно, так что на концах все производные нулевые. Из таких функций удобно "гладкие лесенки" собирать. У таких функций ясное дело плохо с рядами Тейлора.
no subject
no subject
Определённость и существование функции в точке это одно и то же. И нам действительно нет нужды их требовать, хотя это обычно делается из соображений технического удобства. А из соображений удобства практического, когда нужно просто делается оговорка, что во всех случаях когда это возможно, функция дополняется по непрерывности во всех точках, где это возможно.
no subject
no subject
no subject
1. Функция ведь отображение (такое множество упорядоченных пар, что...блаблабла), преобразование и в таком случае не очень понятно, почему числа вы называете функциями. Есть число "пи", а есть функциональный ряд, сходящийся к "пи" и их много. В конце концов функция, это оператор над полем объектов: числа - объекты, отношения - оператор.
2. Можно ведь выбрать в качестве элементарных функций - тригонометрические, и выражать все остальные соотношения через них. Тем более, что так и делали раньше...
no subject
2. В качестве _базиса_ композиционной алгебры элементарных функций можно выбрать конечно любой другой базис, чем тот который назвал я. В частности архаичные и менее элегантные, на этот счёт есть с десяток исторических вариантов, бывших в ходу в 19ом веке, и счётно-бесконечное количество иных вариантов. Я не вижу особенного смысла в перечислении их всех. ;-)