akuklev: (Свечка и валокардин)
Элементарными функциями называются функции, которые можно выразить, используя функции exp, log и сложение с целыми комплексными коэффициентами.

Давайте примеры приведём. Вот например умножение и деление элементарные функции? Конечно! Потому что
    a ⋅ b = exp(log(a) + log(b))
    a / b = exp(log(a) − log(b))
Значит все рациональные числа и все рациональные функции элементарны.

Если p элементарное число, то возведение в степень p тоже элементарно, потому как
    ap = exp(p ⋅ log(a))
Стало быть всякие элементарны квадратные корни и вообще выражения в радикалах.

Все тригонометрические функции элементарны потому что могут быть выражены через косинус cos(x) и обратный к нему arccos(x), а они в свою очередь вычисляются по формулам
    cos x = [exp(ix) + exp(-ix)]/2
    arccos x =
В том числе элементарно число пи = arccos(0), число e = exp(1) и числа, выразимые с использованием этих в том числе и этих констант в радикалах.

Казалось бы, такой огромный класс функций и чисел, замкнут относительно их произвольного комбинирования и даже дифференцирования. Чего же в нём не хватает?

1) В первую очередь, отсутствия обратных функций! К сложению есть (вычетание), к умножению (деление), к возведению в степень (корни и логарифмы) тут как тут, а вот к произвольной элементарной функции обратная как раз обычно не элементарна. Причём обратимость внутри класса элементарных перестает работать уже на самых простых функциях: многочленах.

Полиномиальное уравнение x5 + x = y в радикалах не решается, т.е. функция, обратная к f(x) = x5 + x, не является элементарной. Кстати, эта функция имеет специальное название: ультрарадикал пятой степени. Если её добавить к обычным квадратным и кубическим корням, то можно записать универсальную формулу для решения уравнений пятой степени. Гильберт поставил вопрос о существовании семейства таких алгебраических функций uradn(x) ("ультрарадикалов n-ной степени"), что в терминах радикалов и ультрарадикалов степеней не больше n можно записать универсальную формулу решения уравнений степени n. Увы, это не так (Shreeram Abhynkar, http://www.emis.de/journals/SC/1997/2/pdf/smf_sem-cong_2_1-11.pdf), с другой стороны это возможно используя гиперэллиптические тета-функции (http://www.math.leidenuniv.nl/~psh/CMpapers/Guardia.pdf).

Если, допустить, однако, более сложные уравнения, чем полиномиальные, то количество спецфункций, которые нужно подобавлять, чтобы всё решалось, совершенно взрывается. Хотя встречаются и классы уравнений, такие что для решения всех уравнений этого класса достаточно одной спецфункции. Например если взять функцию LambertW (обратная к f(x) = x⋅exp(x)), то экспоненциально-полиномиальные уравнения сводятся к полиномиальным.

2) Интегралы элементарных функций и решения дифференциальных уравнений в элементарных функциях часто неэлементарны. Для решения дифференциальных уравнений матфизики и всяких ценных в народном хозяйстве интегралов были придуманы широчееенные классы спецфункций: эллиптические и гипергеометрические. А для решения линейных дифференциальных уравнений с задержкой необходимо и достаточно дополнить элементарные функции и спецфункцией LambertW.

3) Сложение это итерированный инкремент, умножение — итерированное сложение, возведение в степень — итерированное умножение. Используя примитивно-рекурсивные определения можно ведь и дальше продолжать этот ряд: тетрация, квинтерация и так далее. Существуют и другие естественные и красивые примитивно-рекурсивные функции, возникающие естественно в теории чисел и теории сложности алгоритмов. Факториал хоть например. И про некоторые из этих функций известно, что они определяются не только для натуральных чисел: можно построить естественные голоморфные обобщения этих функций для всех комплексных чисел (для факториала это, например, знаменитая Г-функция). Так вот эти самые функции (не говоря уже об обратным им) нефига не элементарны. И тут откуда-то вылезает эта LambertW: через неё можно выразить аналоги корней для тетрации.

По поводу этой LambertW даже стали раздаваться голоса, не причислить ли её к лику элементарных функций. Уж больно много где возникает. Но по-моему, всё-таки зря раздаются, та же Г-функция возникает в сто раз чаще, а её элементарной никто считать не собирается.

December 2016

S M T W T F S
    123
456789 10
11121314151617
18192021222324
25262728293031

Syndicate

RSS Atom

Style Credit

Expand Cut Tags

No cut tags
Page generated Sep. 21st, 2017 03:48 pm
Powered by Dreamwidth Studios