akuklev: (Default)

§ 1. Бесконечные множества

Оказывается, Давид Гильберт предлагал использовать термин ёмкость множества (вместо введённого Кантором странноватого термина «мощность»). Было бы очень клёво, если бы название прижилось, оно очень интуитивное. Очень удобное, когда впервые рассказываешь детям о бесконечном.

В случае конечных множеств ёмкость совпадает с количеством элементов «ёмкость множества {1, 2 3} = 3», в случае бесконечных множеств количество элементов бесконечно, а вот ёмкости бывают разные: ряд натуральных чисел N = {0, 1, 2, ...} “вмещает меньше”, чем чем вещественная прямая (-∞ ⧟ ∞). Самой большой ёмкости не бывает — для любого заданного множества X в стандартной теории множеств* можно сконструировать множество P(X) большей ёмкости. Емкость вещественной прямой, как выясняется, как раз равна P(N). Множества промежуточной между N, P(N), P(P(N)), ... ёмкости, как выясняется, невозможно сконструировать; однако, если их постулировать, это не будет ничему противоречить. Ряд натуральных чисел имеет самую малую ёмкость из всех бесконечных: любое бесконечное множество имеет часть, равноёмкую натуральному ряду. А как же быть с бесконечными частями натурального ряда, например рядом четрых чисел? Выясняется, что он имеет ту же ёмкость!

Ряд натуральных чисел равноёмок любому своему бесконечному подмножеству, мысленный эксперимент на эту тему известен как «отель Гильберта»: представим отель с бесконечным количеством комнат, пронумерованных натуральными числами. Даже если он полон, в нём всё равно можно разместить ещё одного гостя. Надо просто попросить каждого гостя переместиться в следующую комнату, а нового посетителя разместить в первой. Это возможно т.к. число n+1 всегда существует. Таким образом в полный отель Гильберта можно подселить любое конечное число гостей!

Можно ли в отель Гильберта подселить бесконечное количество гостей? Это зависит от ёмкости множества прибывших посетителей. Если она превышает ёмкость натурального ряда, то конечно же нет. А вот если равна, то да! В полный отеле Гильберта можно заселить ещё столько же гостей сколько в нём уже есть — достаточно попросить каждого гостя из комнаты n переместиться в комнату 2n.Read more... )

December 2016

S M T W T F S
    123
456789 10
11121314151617
18192021222324
25262728293031

Syndicate

RSS Atom

Style Credit

Expand Cut Tags

No cut tags
Page generated Jul. 20th, 2017 10:34 pm
Powered by Dreamwidth Studios